MBA联考共享笔记——数学重点习题（2）
1、 设１０件产品中有４件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。（０.２）
【思路】在”已知取出的两件中有一件不合格品”的情况下，另一件有两种情况(1)是不合格品,即一件为合格品,一件为不合格品(2)为合格品,即两件都是合格品.对于(1),c(1,4)*(1,6)/c(2,10)=8/15;对于(2),c(2,4)/c(2,10)=2/15.提问实际上是求在这两种情况下,(1)的概率,则(2/15)/(8/15+2/15)=1/5
2、 设a是3阶矩阵，b1,b2,b3是线性无关的3维向量组，已知ab1=b1+b2, ab2=-b1+2b2-b3, ab3=b2-3b3, 求 |a| （答案：|a|=-8）
【思路】a= （等式两边求行列式的值,因为b1,b2,b3线性无关,所以其行列式的值不为零,等式两边正好约去,得-8）
3、 某人自称能预见未来，作为对他的考验，将1枚硬币抛10次，每一次让他事先
预言结果，10次中他说对7次 ，如果实际上他并不能预见未来，只是随便猜测， 则他作出这样好的答案的概率是多少？答案为11/64。
【思路】原题说他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率. 即 c(7 10)0.5^7x0.5^3+......c(10 10)0.5^10, 即为11/64.
4、 成等比数列三个数的和为正常数k,求这三个数乘积的最小值
【思路】a/q+a+a*q=k(k为正整数)
由此求得a=k/(1/q+1+q)
所求式=a^3,求最小值可见简化为求a的最小值.
对a求导,的驻点为q=+1,q=-1.
其中q=-1时a取极小值-k,从而有所求最小值为a=-k^3.(mba不要求证明最值)
5、 掷五枚硬币，已知至少出现两个正面，则正面恰好出现三个的概率。
【思路】可以有两种方法：
1.用古典概型 样本点数为c（3，5），样本总数为c（2，5）c（3，5）c（4，5）c（5，5）（也就是说正面朝上为2，3，4，5个），相除就可以了；
2.用条件概率 在至少出现2个正面的前提下，正好三个的概率。至少2个正面向上的概率为13/16，p（ab）的概率为5/16，得5/13
假设事件a：至少出现两个正面；b：恰好出现三个正面。
a和b满足贝努力独立试验概型，出现正面的概率p=1/2
p(a)=1-(1/2)^5-(c5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16
a包含b，p(ab)=p(b)=(c5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16
所以：p(b|a)=p(ab)/p(a)=5/13。
6、 设有n个球和n个能装球的盒子，它们各编有序号1,2,....n今随机将球分别放在盒子中，每个盒放一个，求两个序号恰好一致的数对个数的数学期望。（答案：1）
【思路】1/nn，n个球进n个盒有n的n次方种排列，对号入座只有1种排列。
7、 若方程x2+p*x+37=0恰有两个正整数解x1,x2,则((x1+1)*(x2+1))/p=?
(a) -2, (b) -1 (c)-1/2 (d)1
【思路】题目说有两个正整数的根，故只能是1和37，p=-38
8、 设f(n)=(n+1) n-1(n为自然数),则f(n):
(a) 只能被n整除 (b)能被n*n整除 .....
【思路】用二项式定理去做第二题，只考虑n的系数，有一个含n的项.系数中还有一个n.答案应为b。
9、 一张盒子中有4张卡片，其中两张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是绿色，一张卡片一面红一面绿。任取其中一张 ，观察其一面的颜色，如果被观察的一面是绿的，求另一面也是绿色的概论。
【思路】设a=被观察的一面是绿的，b=两面都是绿
则需求p（b/a）=p（ab）/p（a）=p（b）/p（a）=1/4：1/2=1/2，所给答案却2/3？
10、 设ａ是４＊３矩阵且ｒ（ａ）＝２，ｂ＝ 求ｒ（ａｂ）
【思路】r(b)=3
so: r(ab)=r(a)=2
11、 在房间中有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章号码,
求:(1)最小号码为5的概率，(2)最大号码为5的概率.
【思路】最小号码为5 的概率：
号码5已确定，另外2人的号码应从6、7、8、9、10中选出
故组合的个数为 所以概率为 /c ＝10/120＝1/12
同样最大号码为5的概率：
号码5已确定，另外2人的号码应从1、2、3、4中选出
故组合的个数为c 所以概率为c /c ＝6/120＝1/20
12、 从5 双不同的鞋子中任取4 只,求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?
【思路】可以这样理解，先算出没有两只配成一双的情况，然后用1去减一下便可。
4只鞋中没有配成一双的情况：10只鞋按配对分成5组，只要每次从一组中取出一只便能保证没有配成双的情况，那么组合数为：c ＝10×8×6×4
任取4只的组合数为：10×9×8×7
所以没有2只配对的概率为：10×8×6×4/10×9×8×7＝8/21
故至少2只成对的概率为1－8/12＝13/21
13、 设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1）上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1，3）上的诸数字。旋转这陀螺,求它停下来时其圆周上触及桌面的点的刻度位于[1/2，3/2]上的概率。
【思路】设陀螺触及桌面的点的刻度落在[0，1）、[1，3]、[1/2，1）、[1，3/2]上的概率分别为p(01),p(13),p1,p2,则：
p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4
同理 p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8 p=1/4+1/8=3/8
14、 设某家庭有3个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭中至少有一个男孩的概率。
【思路】设a为三人中至少有一个女孩，b为已知三人中有一个女孩另外至少有一个男孩；p（a） =1-（1/2）*（1/2）*1/2=7/8 , p(ab)=1-（1/2）*（1/2）=3/4,
所以 p(b|a) = p(ab)/p(a) = 6/7。
(这样分析是认为三个孩子是排序的，一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三种情况，总共有八个样本，这比抛硬币难理解一些）
15、 求极限： lim( )x-1/2 (x趋于正无穷）；
【思路】lim =lim(1- )
把它的指数整理成（((x+6）/3)*(3/2)-7/2）, 就可得结果： or lim[(x+3)/(x+6)]^(x-1/2)x->正无穷
=lim[(x+3)/(x+6)]^x/2 * lim[(x+6)/(x+3)]1/2
=lim[(1+3/x)/(1+6/x)]x/2
=lim{[1+3/x]^[(x/3)*(3/2)]}/{[1+6/x]^[(x/6)*3)]}
=lim(e3/2)/(e3)=
16、 求极限：lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)...(1-1/n*n) (n趋于正无穷）；
【思路】lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)...(1-1/n*n)n->正无穷
=lim(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3).....(1-1/n)(1+1/n)
=lim1/2 * 3/2 *2/3 * 4/3......* (n-1)/n * (n+1)/n
=lim(n+1)/2n=1/2
17、 求极限：lim ( x->0)
【思路】此题需要连用三次使用罗必塔法则。正确答案为：-0.5e
注意(x+1)1/x=e
18、 如果数列{an}中，a1=1,且an+1=2nan(n=1,2,...),则{an}的通项公式an＝？
【思路】an+1=2nan => an+1/an=2n =>
a2/a1=2 , a3/a2=2^2 .....
(a2/a1)*(a3/a2)*......*( an /an-1)=2 22...... 2n-1
=> an /a1=2 (1+2+...+n-1)=2n(n-1)/2=>an=2n(n-1)/2
19、 设有4只坏，每只都能以同样的落入4个格子中的任一个，求前2个球落入不同格子中的概率。
【思路】分别设四球为1号, 2号，3号和4号
1号球落入某个格子有4种可能，那么2号球就只有3种可能
3号4号可落入4个格子中的任意，有4，4种可能
所以应为4*3*4*4/44
20、 甲，乙二人同时同地绕400米跑道赛跑，甲速度每秒比乙快3米，知甲跑三圈后第一次赶上乙，求乙速度.( 6s/m)
【思路】3*400/(v+3) = 2*400/v 得v=6 (m/s)